Végre felfedheti titkait az univerzum formája!
A matematika és a fizika évszázadok óta szorosan összefonódik, és most úgy tűnik, hogy egy újfajta összhang kezd kibontakozni közöttük.
Az Amerikai Matematikai Társaság egyik friss publikációjában Claudia Fevola (Inria Saclay) és Anna-Laura Sattelberger (Max Planck Intézet) izgalmas érvet fogalmaznak meg. Szerintük az algebrai és geometriai koncepciók nem csupán az elemi részecskék világának mélységeit tárhatják fel, hanem a kozmosz titkait is megvilágíthatják. Ez a párhuzam új megközelítéseket kínálhat a fizika és a matematika határterületein.
Kutatásaik fókuszában az algebrai geometria, azon belül is a pozitív geometria áll, amely a matematika és a nagyenergiás elméleti fizika határvonalán alakult ki. Ez a megközelítés egyfajta közös nyelvet teremt, amely a legkisebb részecskéktől kezdve egészen a világegyetem tágas mélységeiig terjed. A hagyományos módszerek szerint a részecskeütközések leírása Feynman-diagramokkal történik, ami gyakran bonyolult számításokhoz vezet. Ezzel szemben a pozitív geometria egy új perspektívát kínál: azt javasolja, hogy a fizikai jelenségek megfeleljenek egy magasabb dimenziós alakzatnak, és ennek a "testnek" a térfogata adja meg a keresett fizikai mennyiséget. Az amplitúeder, amely a legjobban ismert példája ennek a megközelítésnek, lehetővé teszi, hogy a sok apró részszámítást egyetlen, jól áttekinthető geometriai problémává alakítsuk.
Ez a gondolkodásmód a kozmológiában is hódít. A kozmikus mikrohullámú háttér fodrozódásai és a galaxisok eloszlása mintázatokat rejtenek, amelyeket ma már úgynevezett kozmológiai politópokkal - szintén "pozitív" alakzatokkal - modelleznek. Ezek "kanonikus formái" a fizikai összefüggéseket kódolják, és segítenek visszafejteni, milyen törvények uralták az univerzum legkorábbi pillanatait.
A háttérben több matematikai terület dolgozik össze. Az algebrai geometria egyenletek megoldásain keresztül írja le az alakzatokat; az algebrai analízis (D-modulok) rögzíti, milyen differenciálegyenletek szabják meg a vizsgált mennyiségeket; a kombinatorika pedig rendet tesz az előbukkanó diszkrét szerkezetekben. A részecskefizikai integrálok gyakran átalakíthatók kézre állóbb formára - például Mellin-transzformációval -, és végül néhány alapvető "mesterintegrálra" vezethetők vissza.
A legérdekesebb az egészben, hogy gyakran felfedezhetjük: ezeknek az alapvető építőelemeknek a száma megegyezik egy egyszerű topológiai jellemzővel, az Euler-karakterisztikával. Más szavakkal, a tiszta geometria képes megmondani, hány komponensből áll a fizikai számítás.
A pozitív geometria egy viszonylag új és izgalmas terület, amely hatalmas potenciált hordoz magában. Nem csupán felgyorsítja és tisztábbá teszi a számítási folyamatokat, hanem egy egységes keretet is kínálhat a részecskefizika és a kozmológia számára. Amennyiben sikerül megvalósítani ezt a megközelítést, közelebb kerülhetünk ahhoz, hogy a természet működésének titkait egyértelmű, geometriai nyelven fedezzük fel, a legkisebb részecskéktől egészen a hatalmas galaxisokig.
